Teorema de Nyquist

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de lateoría de la información,de especial interés en las telecomunicaciones.Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en el año 1928 ("Certain topics in telegraph transmission theory"), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannonen el año 1949 ("Communication in the presence of noise"). La intención del sueco Harry Nyquist al formular este teorema era la de obtener una grabación digital de calidad y también se puede conocer con el nombre de "Condición de Nyquist". Si hacemos un muestreo a un bajo valor, hay una posibilidad de que la señal original no esté únicamente definido por nuestra señal mostrejat. Si esto pasa, no tenemos ninguna garantía que la señal esté correctamente reconstruido. Por este motivo se creó el teorema de Nyquist.

En palabras textuales el teorema dice: " La frecuencia de muestreo mínima que se requiere para realizar una grabació digital de calidad, tiene que ser superior al doble de la frecuencia de audio de la señal analógica que se intenta digitalizar y grabar".

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal [Ola periódica] continuo en banda baso a partir de sus muestras es matemáticamente posible si la señal se encuentra limitado en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda. Dedo de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple el criterio anterior se encuentra descrita por la serio total de muestras que se han obtenido del proceso de muestreo. Por lo tanto, todos los valores intermitjos entre las diferentes muestras quedan definidos por las muestras obtenidas.

Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica  es  y la señal se muestra a , entonces  se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua) con sólo cinco muestras. Cada ciclo se composa de sólo 3 muestras a 44100 muestras por segundo. La reconstrucción teórica resulta de la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y sus versiones correspondientes desplazadas en el tiempo g(t-nT) con , donde los coeficientes de ponderación son las muestres x(n). A la imagen cada función de interpolación está representada con un color (en total, cinco) y están ponderadas al valor de su correspondiente muestra (el máximo de cada función pasa por un punto azul que representa la muestra).

Así,  se puede expresar cómo:

dónde  son las muestras de .. 

El concepto de anchura de banda no necesariamente es sinónimo del valor de la frecuencia más alta de la señal. Las señales que lo cumplen se los denomina señales de banda base, y no todas las señales comparten esta característica.

Cuando queremos convertir una señal analógica a digital, primero pondremos un filtro llamado "filtro anti-Aliasing". Este filtro tiene que cumplir que su frecuencia de corte sea menor que la frecuencia de muestreo dividida por 2. Es decir, este filtro nos asegura que se cumple el Teorema de Nyquist y de este modo no hay solapament frecuencial.